Intersection de deux plans

Énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \((\text O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\) , on considère le plan  \(\mathscr{P}\) d'équation cartésienne \(4x+14y+3z=33\) .

Soit \(\text M(x;y;z)\) un point à coordonnées entières appartenant au plan \(\mathscr{P}\) et au plan d'équation \(z=5\) .

1. Montrer que  \((x;y)\) est solution de \((E) \colon 2x+7y=9\) .

2. Résoudre l'équation  \((E)\) dans \(\mathbb{Z}^2\) .

3. Montrer qu'il existe un unique point appartenant au plan \(\mathscr{P}\) et au plan d'équation \(z=5\) , et dont les coordonnées sont des entiers naturels, puis déterminer les coordonnées de ce point.